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Il laboratorio comprende alcune tematiche scientifiche trattate nel corso di formazione IL TEMPO che si è tenuto all’Università di Roma “Tor Vergata” nell’anno accademico 2009-2010. Questi argomenti sono stato poi collegati a un laboratorio matematico, ideato, nell’ambito del Progetto Lauree Scientifiche, dal gruppo di Trento del Centro interuniversitario Metamatita e realizzato felicemente in quella città. Di questo laboratorio, oltre al materiale multimediale e interattivo presente sul loro sito di riferimento http://matematita.science.unitn.it/laboratorio_max_min/ esiste una pubblicazione Problemi di massimo e minimo, di Domenico Luminati e Italo Tamanini (ed. Mimesis, 2009) che è stata il riferimento principale del gruppo di lavoro romano.
Il gruppo è formato dai referenti di una rete di scuole secondarie di secondo grado che, a partire dal mese di febbraio 2011 e nel 2012, gestiranno, nelle rispettive sedi, una attività laboratoriale, in orario extra scolastico, dedicata a studenti particolarmente interessati alle scienze.
Lo scopo del laboratorio è proporre problemi di massimo e minimo sia geometrici che fisici (problemi isoperimetrici, reti minime, minimo potenziale, bolle di sapone, percorsi della luce) trattando l’argomento dal punto di vista sintetico e da quello analitico.
La tematica scelta permette una forte interazione della matematica con la storia della scienza e con la fisica e permette agli insegnati di realizzare una pratica didattica interdisciplinare di tipo laboratoriale coinvolgendo direttamente gli studenti attraveso tavole di lavoro, animazioni al computer, esperimenti di fisica.
Il materiale prodotto, diviso in moduli, è accessibile e può essere scaricato, cliccando sulla corrispondete cartella, e utilizzato da chiunque intenda fare, nella propria scuola, questa esperienza.
Rete di scuole che partecipano al laboratorio Massimi minimi e minimi percorsi
- Liceo Classico Statale Sperimentale Bertrand Russell, Via Tuscolana 208, Roma
Referente: Anita Biagini
Collaboratori: Patrizia Plini, Silvana Poroli
(1 Mb)
(1,4 Mb) (7,5 Mb) (1,3 Mb) (569 Kb) (3,5 Mb)
Primo Incontro Secondo incontro Terzo incontro Quarto incontro Quinto incontro Sesto incontro.
- Liceo Scientifico Morgagni, Via Fonteiana 125, Roma.
Referente: Ida Spagnuolo.
Collaboratori: Silvana Renzi, Daniela Bianchi
(6,3 Mb) (xxx Mb) (xxx Mb) (xxx Mb) (xxx Mb) (xxx Mb)
Primo Incontro Secondo incontro Terzo incontro Quarto incontro Quinto incontro Sesto incontro.
- Liceo scientifico Malpighi Via Silvestri 301, Roma
Referente: Emanuela Arnao
- Liceo Classico Benedetto da Norcia Via Saracinesco 18, Roma
Referenti: Angela Raiele, Maria Speranza
- IV Liceo Artistico Caravillani Piazza del Risorgimento 46/B, Roma
Referente: Mara Vardaro
- Liceo Scientifico Francesco d’Assisi Viale della primavera 207, Roma
Referente: Angela Fanti
- Istituto di Istruzione Secondaria Superiore Giorgio Ambrosoli Viale della primavera 207, ROMA
Referente: Andreina D’Arpino
Materiale didattico prodotto dal gruppo di lavoro
Ogni modulo comprende delle schede teoriche ad uso degli insegnanti, delle schede di approfondimento, che possono essere stampate e distribuite agli studenti, le tavole di lavoro per gli studenti e delle pagine dinamiche realizzate con geogebra, un software che può essere scaricato gratuitamente. Queste pagine sono raggruppate in una unica cartella zippata che può essere scaricata e aperta sul proprio computer. Cliccando sulle icone si scaricano i file indicati.
I problemi di massimo e di minimo sono un problema classico della matematica affrontato per lo più nelle classi quinte delle scuole superiori. Alcuni problemi proposti vengono risolti senza utilizzare gli strumenti dell’analisi matematica. Tali problemi si presentano in diversi ambiti della vita di tutti i giorni ma non sempre la funzione da massimizzare (minimizzare) è facile da trattare. Un nodo fondamentale è quello che riguarda l’esistenza del massimo (minimo) prima ancora di individuare gli algoritmi di ricerca. L’esistenza di un massimo (minimo) è un problema delicato da affrontare con gli studenti della scuola secondaria superiore. A seconda dei contesti, è possibile trovare alcuni maggioranti(minoranti) ma non è detto che siano massimi (minimi) della grandezza considerata. Ad esempio nell’insieme dei poligoni isoperimetrici la funzione area cresce al crescere del numero dei lati, ma non ammette massimo perché la figura di area massima è il cerchio che non è un poligono. Se la funzione che rappresenta la grandezza da massimizzare (minimizzare) è definita in R l’esistenza è assicurata dalle ipotesi del teorema di Weierstrass, negli altri casi si possono utilizzare, per questo livello scolastico, tecniche diverse.
Nota per l’insegnante ( 104 Kb )
Modulo I
In questa lezione si sperimenta, con un tavolo di Varignon, che in un triangolo A,B,C i cui angoli siano tutti inferiori 120° esiste un punto F che “vede” i tre lati con un medesimo angolo di 120°, per il quale cioè i tre angoli angoli AFB, BFC, CFA misurano 120°. Tale punto viene poi costruito geometricamente con Geogebra. Successivamente, usando il concetto di energia potenziale, si dimostra che il punto F minimizza la somma delle distanza FA,FB, FC. Vengono poi allora introdotti i concetti di grafo e di rete che collega n nodi e si pone il problema di trovare, dati i nodi, delle reti di lunghezza minima. Anche nel caso di tre nodi, la determinazione, per via geometrica, di una rete minima che li collega è tutt’altro che semplice. - Laboratorio di fisica.
L’equilibrio di tre forze uguali: esperienza col tavolo di Varignon ( 484 Kb ) - Tavola I.1 ( 352 Kb )
Per questi esercizi occorre un goniometro(300 Kb) - Tavola I.2 ( 56 Kb )
Per questi esercizi occorre stampare su carta trasparente tre semirette che formano angoli di 120° - Scheda I.1 Condizione di equilibrio per tre forze di uguale intensità ( 72 Kb )
- Laboratorio di Geometria dinamica. La geometria del punto di equivisione ( 208 Kb )
- Tavola I.3 Costruzione del punto di quivisione con triangoli equilateri ( 56 Kb,
 ) - Tavola I.4 Costruzione del Punto di equivisione con un triangolo equilatero ( 60 Kb, )
- Grafi e reti. Grafi , grafi connessi e alberi. ( 84 Kb)
- Scheda I.2 I primi grafi nella storia: i ponti di Königsberg ( 144 Kb)
- Scheda I.3 Le origini del problema dei tre nodi (trovare la rete di lunghezza minima che collega tre nodi) ( 120 Kb)
- Scheda I.4 La soluzione fisica del problema dei tre nodi tramite il concetto di energia potenziale ( 168 Kb)
- Tavola I.5 Studio di alcuni grafi ( 148 Kb)
- Tavola I.6 Parentele ( 48 Kb, Soluzione 108 Kb, )
- Tavola I.7 Ancora sui grafi ( 64 Kb)
- Tavola I.8 Ancora sui grafi ( 80 Kb)
- Scheda I.5 Il teorema di Eulero per le reti ( 112 Kb)
Bibliografia e sitologia ( 58 Kb)
Modulo II
In questa lezione si studiano reti minime dal punto di vista sperimentale e da quello matematico. Da un punto di vista sperimentale si usa un dispositivo formato da alcuni pioli posti tra due lastre trasparenti di plexsiglas. Le lastre, immerse nell’acqua saponata, producono dei sottili filamenti di acqua saponata che, come un elastico, collegano i pioli minimizzando il percorso totale. Si possono così vedere alcune reti minime e studiarne teoricamente le loro proprietà. Vengono infine elencate le caratteristiche che devono avere le reti minime e si forniscono diversi esempi di reti con tutte le buone caratteristiche. In particolare vengono studiate quelle che collegano le 6 scuole che partecipano al gruppo di lavoro.
- Laboratorio sperimentale con acqua saponata e piastrine in plexsiglas
( 672 Kb ) - Tavola II.1 Confronto teorico tra le lunghezze di alcune reti che collegano tre punti ( 84 Kb )
- Tavola II.2 Esperienza guidata con le piastrine di plexsiglas con tre pioli ( 44 Kb)
- Tavola II.3 Confronto teorico tra le lunghezze di alcune reti che collegano quattro punti ( 92 Kb )
- Tavola II.4 Esperienza guidata con le piastrine di plexsiglas con quattro pioli ( 40 Kb)
- Tavola II.5 Il calcolo della lunghezza della rete trovata sperimentalmente ( 40 Kb)
- Tavola II.6 Esperienza guidata con le piastrine di plexsiglas con quattro pioli a forma di
T ( 40 Kb)
Caratteristiche delle reti minime.
Laboratorio di geometri dinamica. Costruzione di reti con più nodi.- Scheda II.5 Reti che collegano 4 nodi ( 144 Kb, 4 nodi.gbg )
- Scheda II.6 Reti che collegano 5 nodi ( 120 Kb, 5 nodi.gbg )
- Tavola II.10 La ricerca di una rete che collega le scuole che partecipano a questo laboratorio ( 684 Kb, Mappa della città
 ) - Soluzione riducendo a tre il numero dei nodi
- Soluzione con le 7 scuole
Modulo III
In questa lezione si studia il problema di determinare quelle figure, di una data famiglia, con lo stesso perimetro la cui area sia massima e, dualmente, con la stessa area il cui perimetro sia minimo. Il problema sarà presentato nella sua veste storico-mitologica e completamente risolto per i rombi e per i rettangoli usando metodi sintetici e metodi analitici.
- La nascita del problema isoperimetrico : i miti.
- Scheda III.1 Didone e la fondazione di Cartagine ( 412 Kb )
- Tavola III.1 Ma quanto era grande Cartagine? ( 60 Kb, Soluzione 284 Kb )
- Scheda III.2 La ricompensa di Orazio Coclite ( 452 Kb )
- Tavola III.2 Ma quanto era grande il campo di Orazio Coclite? ( 220 Kb, Soluzione 64 Kb )
- Scheda III.3 L’astuzia di Iwar Lodbrok ( 460 Kb )
La nascita del problema isoperimetrico: la storia ( 60 Kb) - Pappo e il problema delle api ( 96 Kb, il testo latino 356 Kb, la traduzione italiana 64 Kb)
- Tavola III.3 Pavimentazioni e aree ( 72 Kb, pavimentazioni triangolari )
Quadrilateri isoperimetrici
- Tavola III.4 Il rombo di dato perimetro e area massima ( 48 Kb, Soluzione 48 Kb)
- Tavola III.5 Il rettangolo di dato perimetro e area massima ( 44m Kb, rettangoli quadrati )
- Scheda III.4 Perché è il quadrato che ha area massima? 4 diverse dimostrazioni. ( 336 Kb)
- Il problema dei recinti Si tratta di esercizi che possono essere dati contemporaneamente a tre diversi gruppi di studenti. La soluzione proposta è una delle quattro indicata nella Scheda III.4 ma l’esercizio può essere risolto con una qualsiasi di quelle procedure. .
- Tavola III.6 ( 40m Kb, soluzione 148 Kb, recinto 1 )
- Tavola III.7 ( 40m Kb, soluzione 124 Kb, recinto 2 )
- Tavola III.8 ( 40m Kb, soluzione 180 Kb, recinto 3 )
- Tavola III.9 La minima diagonale ( 28 Kb, soluzione 244 Kb)
Quadrilateri equiestesi- Tavola III.10 Confronto dei perimetri in rettangoli di data area ( 56 Kb, rettangoli equiestesi , istruzioni 52 Kb)
- Scheda III.5 Da un problema al suo duale ( 80 Kb)
Il metodo di Fermat per calcolare i massimi e i minimi ( 372 Kb)
Bibliografia e sitologia ( 68 Kb)
Modulo IV
In questa lezione si tratta il caso dei triangoli e dei poligoni di dato perimetro e area massima. Supponendo l’esistenza di una e una sola soluzione si dimostra che il cerchio, tra tutte le figure piane di data lunghezza, è quella di area massima. Questo risultato viene poi sperimentato con l’uso di particolari lamine saponate.
Modulo V
In questa lezione si studiano problemi di minimo legati alle leggi di riflessione e rifrazione della luce. Queste due leggi si esprimono dicendo che la luce viaggia a velocità costante (diversa da mezzo a mezzo) e impiega il minor tempo possibile per andare da un punto A a un punto B. Nel caso della riflessione, dato che il mezzo non cambia, questo significa che la luce minimizzando i tempi, minimizza le distanze, mentre nel caso di un passaggio da un mezzo all’altro questo principio implica la legge di Snell. Le stesse considerazioni vengono sviluppate in due casi analoghi: il problema del rimbalzo di una pallina in un biliardo (qua studiamo il fenomeno per biliardini ellittici) o il problema del bagnino.
- Laboratorio di Fisica
- Illumina la torre Esperienze sulla riflessione con uno specchio piano e un laser ( 172 Kb)
Laboratorio di Geometria Dinamica - Esercizio 1 Simulazione con Geogebra del problema fisico “Illumina la Torre” : Torre.ggb Soluzione torre.ggb .
- Esercizio 2 Come raccogliore rapidamente l’aqua al fiume? problema fiume.ggb .
- Scheda V.1 Erone e il cammino minimo ( 136 Kb)
- Animazione Il teorema di Erone animato con GeoGebra ; Erone.ggb .
- Scheda V.2 Breve biografia di Erone Alessandrino ( 112 Kb)
Laboratorio di fisica e di geometria dinamica: il biliardino ellittico ( 320 Kb)
- Tavola V.1 Prima esperienza di rimbalzo ( 108 Kb) , Biliardino 1.gbg .
- Tavola V.2 Seconda esperienza di rimbalzo ( 108 Kb) , Biliardino 2.gbg .
- Tavola V.3 Terza esperienza di rimbalzo ( 100 Kb) , Biliardino 3.gbg .
- Tavola V.4 Verso la retta tangente ( 96 Kb)
- Tavola V.5 Ancora verso la retta tangente ( 88 Kb)
- Scheda V.3 La retta tangente a una ellisse ( 176 Kb)
- Scheda V.4 Un modello teorico ( 408 Kb)
- Tavola V.6 Trova la tangente ( 48 Kb) , Tangente.gbg .
Laboratorio di Geometria Dinamica
- Il problema del bagnino ( 96 Kb)
- Esploriamo il problema con Geogebra Il Bagnino esplorazione.ggb .
- Un modello matematico della riflessione e della rifrazione della luce ( 360 Kb)
- Il grafico di una utile funzione Il grafico.ggb .
- La soluzione con geogebra Il bagnino.ggb .
Bibliografia e Sitografia ( 68 Kb)
Modulo VI
In questa lezione si studiano problemi di minimo e di massimo relativi a strutture tridimensionali (parallelepipedi, piramidi, coni, sfere). Questi problemi si riconducono spesso alla ricerca di massimi o minimi di una funzione cubica cosa che è facilmente risolvibile con l’uso delle derivate. Per questo molti problemi che qua proponiamo offrono interessanti applicazioni dell’ analisi matematica a problemi concreti e non banali. In assenza di questo strumento, e solo in alcuni casi, riusciamo a dare delle dimostrazioni dirette, altrimenti con l’uso di software come geogebra o derive è possibile tracciare il grafico della funzione ed evidenziare i punti staszionari. L’ultima parte della lezione dovrebbe essere una gioiosa kermesse con le bolle di sapone.
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