Gruppi

Il laboratorio comprende alcune tematiche scientifiche trattate nel corso di formazione SIMMETRIE che si è tenuto nel 2011 presso l’Università di Roma Tor Vergata. In seguito si è formato il gruppo di lavoro Gruppi, isometrie, fregi, tassellazioni che ha elaborato gli aspetti teorici e didattici per poter proporre questo tema in scuole di diverse tipologie.
Il gruppo è formato dai referenti di una rete di scuole secondarie di secondo grado che gestiranno, nelle rispettive sedi, una attività laboratoriale, in orario extra scolastico, dedicata a studenti particolarmente interessati alle scienze.
Il materiale che qua presentiamo è diviso in moduli. Di ogni modulo diamo un breve riassunto e una cartella che può essere scaricata. Le cartelle contengono un indice interattivo che rimanda a tavole di lavoro per gli studenti, schede teoriche pensate soprattutto per gli insegnanti e diversi file dinamici realizzati con geogebra (versione 4.0 scaricabile gratuitamente dalla rete) che propongono delle situazioni problematiche, generalmente accompagnate da una possibile soluzione per gli insegnati.

Modulo I     (1,7 Mb)
Nel presente modulo viene trattato, dal punto di vista sintetico, il prodotto di isometrie dello stesso tipo: traslazioni con traslazioni, rotazioni con rotazioni, simmetrie con simmetrie. Gli studenti vengono guidati alla scoperta delle proprietà dell’ insieme sul quale è definita l’operazione interna di prodotto. In alcuni casi si può parlare di struttura di gruppo e gruppo commutativo. Si analizza poi come traslazioni e rotazioni possono derivare dal prodotto di simmetrie assiali.

Modulo II     (1,3 Mb)
Si analizzano le isometrie dirette ed invertenti e si introduce la glisso riflessione. Si evidenzia che ciascuna isometria studiata si può ottenere come composizione di al più tre simmetrie assiali. Da questo risultato discende che le isometrie, con il prodotto, hanno struttura di gruppo. L’isometria è una trasformazione biiettiva.

Modulo III     (1,3 Mb)
A partire da questo modulo si utilizzeranno le isometrie per analizzare alcuni elementi architettonici e decorativi piuttosto comuni: rosoni, fregi, tassellazioni (mosaici). Si inizia con la definizione di sottogruppo e di gruppo di simmetria di una figura. Si analizzano poi i gruppi generati da una sola isometria f, ovvero l’insieme formato da f e dalle sue potenze. Si possono ottenere insiemi finiti o insiemi infiniti. In questo modulo si trattano i gruppi finiti (ciclici e diedrali) che si utilizzano per la realizzazione dei rosoni. Rosone, in matematica, indica una figura piana il cui gruppo di simmetria contiene solo un numero finito di trasformazioni. Si dimostrerà che le sole possibilità per il gruppo di simmetria di un rosone sono o un gruppo ciclico (che indichiamo con con C_n e che contiene n rotazioni) oppure un gruppo diedrale (che indichiamo con D_n e che contiene n rotazioni e n riflessioni).

Modulo IV     (1,7 Mb)
Abbiamo dimostrato che i gruppi diedrali e i gruppi ciclici costituiscono i soli insiemi di simmetrie possibili per i rosoni, per quelle figure, cioè, che ammettono soltanto un numero finito di simmetrie.
In questo modulo considereremo le figure il cui gruppo di simmetria contenga una sola traslazione indipendente. Gli elementi del gruppo saranno allora tutti i multipli di una traslazione base di modulo minimo ed eventuali altre simmetrie che non producano però, mischiandosi tra loro e con la traslazione di base, altre traslazioni indipendenti da quella. Questi gruppi sono solo sette.
Da notare che in tutte le civiltà i sette gruppi dei fregi sono stati usati da artisti e architetti ben prima che si arrivasse alla classificazione matematica.