Geometria dinamica e decorazioni periodiche in dimensione uno e due | Centro Interdipartimentale di Ricerca e Formazione Permanente per l'Insegnamento delle Discipline Scientifiche

Gruppi di isometrie
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Una isometria del piano è una trasformazione biunivoca del piano in se che conserva le distanze.
Le isometrie possono pensarsi come trasformazioni rigide o movimenti del piano, esse “spostano” la posizione dei punti. Se trasformiamo una figura piana con una isometria questa resta identica a se stessa ma cambia posizione. Le isometrie saranno indicate con lettere greche minuscole.
Le isometrie sono di quattro tipi:

riflessioni rispetto a una retta

traslazione di un dato vettore

rotazione di un dato angolo intorno a un dato punto

glissoriflessione rispetto a una retta e un dato vettore parallelo alla retta.

Due isometrie α e β si possono comporre in questo modo: per ogni punto P del piano, eseguiamo l’isometria α e troviamo il punto αP, poi applichiamo a questo punto la seconda isometria β e troviamo il punto βαP. L’isometria risultante si chiama il prodotto di α e β e si indica con β°α o più semplicemente con βα. Attenzione all’ordine con cui scriviamo le trasformazioni.
Ogni isometria ha una isometria inversa che esegue l’operazione in senso inverso riportando i punti nella posizione di partenza. L’inversa dell’isometria α è indicata con α⁻¹.
L’isometria che lascia tutto ferma sarà indicata con 1.
L’animazione seguente mostra prodotti di rotazioni e traslazioni.

Un gruppo di isometrie è un insieme G di isometrie che sia chiuso rispetto al prodotto e che contenga, per ogni isometria di G, anche la sua inversa. Si richiede cioè che:

se α e β appartengono a G anche il loro prodotto deve appartenere a G
se α appartiene a G anche α⁻¹ deve appartenere a G

Se F è una figura del piano allora, l’insieme di tutte le isometrie che trasformano F in se stessa, è un gruppo che si chiama il gruppo di simmetria di F

G={α isometria : α (F) =F}
Dimostrazione
Se α e β appartengono a G, vuol dire che α (F) =F e β (F) = F dunque βα (F) = β(α (F)) = β (F) = F e quindi anche il prodotto βα appartiene a G. Inoltre se α appartiene a G allora : α (F) =F e quindi : α⁻¹α (F) =α⁻¹F cioè F=α⁻¹F e dunque α⁻¹ appartiene a G

Osserviamo che l’isometria banale, che indichiamo con 1, trasforma sempre una figura in se stessa dato che 1(F)=F, dunque ogni figura ammette sempre un suo gruppo di simmetria che, nel caso “meno simmetrico” possibile coincide con l’identità. In questo caso diciamo che la figura non ha simmetrie (non banali).

Vediamo, dato un determinato gruppo di isometrie, come si può fare per costruire una figura che abbia quel gruppo come gruppo di simmetrie.

Come prima cosa elenchiamo tutti gli elementi di G. Sia

G={1, α₁, α₂, α₃, … , α_n, …}
Scegliamo una figura F e costruiamo una nuova figura S ottenuta mettendo insieme tutte le trasformazioni di F con le isometrie del gruppo G:
S =F

α₁(F)

α₂(F)

α₃(F)

…

α_n(F)

…
la figura S così costruita si chiama l’orbita di F rispetto al gruppo G e, se F non ha simmetrie (tranne quella banale), S ha come gruppo di simmetria proprio G.
Cenno di dimostrazione
Sia α un qualunque elemento di G
α (S)= α[F

α₁(F)

α₂(F)

α₃(F)

…

α_n(F)

…] = αF

αα₁(F)

αα₂(F)

αα₃(F)

…

αα_n(F)

…Ora le simmetrie α , αα₁, αα₂ , αα₃ ecc realizzano una permutazione degli elementi di G dato che la corrispondenza che trasforma α_i in αα_i è una trasformazione biunivoca di G in G. Risulta quindi che ogni elemento di G trasforma S in se stesso. Viceversa se α trasforma S in se stesso dovrà trasformare F in un sottoinsieme di S congruente con F cioè in uno dei pezzi di S (le isometrie sono delle congruenze), Esisterà quindi un elemento α_i di G tale che α(F ) = α_i(F) da cui F= α⁻¹ α_i(F) e quindi α⁻¹α_i risulta una simmetria di F ma F ha solo la simmetria banale per ipotesi, quindi α⁻¹α_i =1 e α=α₁ appartiene a G.
Facciamo degli esempi considerando dei gruppi facilmente descrivibili.
Osserviamo intanto che se un gruppo contiene un elemento α deve contenere anche αα = α², ααα = α³, e in generale tutte le sue potenze αⁿ, ma deve anche contenere l’inverso α^-1 di α e i prodotti anche α^-1α^-1 = α^-2, α^-1α^-1α^-1 = α^-3, e in generale tutte le potenze αⁿ per ogni intero n positivo e negativo.
Per descrivere la struttura di un gruppo conviene considerare dei generatori. Un gruppo generato da un solo elemento α₁ si denota con < α₁> ed è formato da tutte le sue potenze (positive e negative) . Questi sono i gruppi più semplici e si chiamano gruppi ciclici.

Un gruppo generato da due elementi α₁ e α₂ si denota con <α₁,α₂>. Questo gruppo è formato da tutte le potenze di α₁ e α₂ e da tutti i loro possibili prodotti.
Ugualmente abbiamo gruppi generati da tre o più elementi.

Alcuni gruppi generati da un elemento

Negli esempi che seguono abbiamo preso come figura F un piede che è una figura senza simmetrie. A partire da F e da un gruppo G, particolarmente semplice, costruiamo la figura S che ha come gruppo di simmetria G, mettendo insieme tutti i trasformati di F mediante gli elementi di G.
Cominciamo coi casi più semplici.

Il gruppo generato da una riflessione.
< σ > = {1, σ}, σ² = 1

Il gruppo generato da una rotazione di un angolo di 2π/n radianti.
< ρ > = {1, ρ , ρ², . . . , ρ^n-1}, ρ ⁿ = 1

Il gruppo generato da una traslazione.
< τ > = {1, τ , τ^-1 , τ², τ^-2 , . . . , τⁿ, τ ^-n, . . . } ={ τⁿ : n intero}
Tutti gli elementi del gruppo sono traslazioni parallele: i suoi possibili generatori sono le traslazioni di modulo minimo cioè τ, τ^-1.

Il gruppo generato da una glissoriflessione.
< γ > = {1, γ , γ^-1 , γ², γ^-2 , . . . , γⁿ, γ ^-n, . . . } ={ γⁿ : n intero}
Osserviamo che γ² è una traslazione quindi il gruppo contiene delle traslazioni ma non è generato da una traslazione. Le potenze pari sono traslazioni le potenze dispari glissoriflessioni.

Alcuni gruppi generati da due elementi
Cominciamo a studiare i gruppi generati da una riflessione e da una traslazione. Come vedremo ci sono diversi casi da analizzare a secondo della direzione della traslazione in rapporto a quella della retta di riflessione.
Consideriamo una riflessione σ rispetto a una data retta (che indichiamo ancora con σ) e da una traslazione τ e cerchiamo la struttura del gruppo < σ,τ >.
La seguente figura animata è utile per fare delle esperienze e risolvere gli esercizi seguenti trovando le immagini del punto P con la riflessione e la traslazione potendo modificare il vettore traslazione.

Esercizi

Se il vettore τ è perpendicolare alla retta σ allora (τσ)²=1

Se il vettore τ non è perpendicolare alla retta σ allora (τσ)² è una traslazione rispetto a un vettore parallelo alla retta σ e quindi τσ è una glissoriflessione. In particolare se σ non è parallela al vettore τ il gruppo < σ,τ > contiene due traslazioni indipendenti: τ e (τσ)².

Decomponiamo il vettore τ = αβ =βα nella componete α parallela alla retta σ e nella componente β perpendicolare a σ. Allora (τσ)²= α² ma τσ è diverso da α, la traslazione α non appartiene al gruppo.
Soluzione:
Dato che ασ=σα abbiamo (τσ)²=[(αβ)σ]²=αβσαβσ=αβ(σα)βσ=αβ(ασ)βσ=α(βα)σβσ=α²βσβσ=α²(βσ)²=α²

Descrivere completamente, considerando le dimensioni dei vettori α e β, la glissoriflessione τσ.

Vediamo i casi più semplici

Il gruppo generato da una traslazione e da una riflessione lungo una retta parallela alla direzione della traslazione.
In questo caso abbiamo σ² = 1 e στ = τσ quindi il gruppo è commutativo e risulta
< σ,τ >={τⁿ , τⁿσ : n intero}

Il gruppo generato da una riflessione σ e da una traslazione τ perpendicolare alla retta di riflessione.
Abbiamo ancora σ² = 1 ma il gruppo non è commutativo dato che τ σ τ = σ ovvero σ τ = τ ^-1σ. Tuttavia, anche in questo caso abbiamo
< σ,τ >={τⁿ , τⁿσ : n intero}
dato che στⁿ = τ^-nσ.

Il gruppo contiene infinite riflessioni infatti (τⁿσ)²=1 e questa isometria è la riflessione dispetto alla retta che si ottiene traslando la retta iniziale dalla metà del vettore τⁿ
Applicando tutte le isometrie di questo gruppo invece che a un piede alla figura seguente si ottiene una bella decorazione.

Il gruppo generato da una riflessione ο rispetto ad un punto e da una traslazione τ
Abbiamo ancora ο² = 1 ma il gruppo non è commutativo dato che anche in questo caso τ ο τ = ο ovvero ο τ = τ ^-1ο. Quindi, anche in questo caso abbiamo
< ο,τ >={τⁿ , τⁿο : n intero}

Questo ci permette di avere un ordine per costruire l’orbita di un punto (o un piede) rispetto a questo gruppo.

Il gruppo generato da una riflessione σ rispetto ad una retta verticale e da una riflessione ο rispetto a un punto che non appartiene alla retta σ.
La struttura di questo gruppo < σ, ο > è molto interessante e può essere esplorata con geogebra. Intanto i due generatori sono idempotenti cioè coincidono con i loro inversi: σ² = 1 , ο² = 1, ma, moltiplicandoli tra loro, troviamo tante altre isometrie.

Esercizi
Sia d la distanza tra la retta verticale σ e il punto o.
1. οσ è una glissoriflessione di un vettore orizzontale di lunghezza 2d.
La traslazione di lunghezza 2d non appartiene al gruppo. Il gruppo invece contiene una glissoriflessione.
2. οσοσ=(οσ)² = τ è una traslazione di modulo 4d dunque il gruppo < σ, ο > contiene una traslazione nella direzione perpendicolare alla retta verticale cosa che si deduce anche dal punto 1.
3. οσο è la riflessione rispetto alla retta verticale a distanza 2d da A. A conferma di questo abbiamo (οσο)(οσο) = (οσο)² = 1.
3. το=(οσοσ)ο=(οσ)²ο è la rotazione di 180° attorno al punto che dista 3d da A.
A questo punto la descrizione di tutti gli elementi del gruppo diventa possibile:
< σ, ο >={(οσ)ⁿ , (οσ)ⁿο, : n intero}

le potenze di οσ per n=0 danno 1, per n>0 gli elementi che iniziano con σ e finiscono con ο, per n<0 gli elementi che iniziano con o e finiscono con σ; mentre (οσ)ⁿο, per n=0 danno ο , per n>0 tutti gli elementi che iniziano con o e finiscono con ο, mentre per n= -1 abbiamo σ e per n < -1 gli elementi che iniziano con σ e finiscono con σ. Per disegnare l'orbita rispetto a questo gruppo basta eseguire le operazioni indicate facendo variare l'esponente n.

Applicando tutte le isometrie di questo gruppo invece che a un piede alla figura seguente si ottiene una bella decorazione.

Un gruppo generato da tre elementi
Il gruppo generato da una riflessione δ rispetto a una retta orizzontale, da una riflessione σ rispetto ad una retta verticale e da una traslazione τ orizzontale
Il sottogruppo < δ,σ > generato dalle due riflessioni ha 4 ementi ed è un gruppo commutativo che si chiama il gruppo di Klein.
Il prodotto δ σ = ο = σ δ è la riflessione rispetto al punto di intersezione delle due rette. Il comportamento di queste riflessioni con la traslazione è come abbiamo già visto:
σ² = 1 , δ² = 1 , τ δ = δ τ , στ = τ^-1σ οτ = τ^-1ο. Ne segue che ogni possibile prodotto di questi tre generatori si riduce alla forma τⁿσ , τⁿδ , οτⁿ per opportune scelte dell’esponente n positivo o negativo. Ogni elemento del gruppo si ottiene eseguendo prima la riflessione e poi un certo numero di traslazioni in avanti o indietro.
Ad esempio, scegliendo una sequenza a caso, abbiamo
σδτσδ(ττσ)=σδτσδ(σττ)=σδτ(σδσ)ττ=σδτ(σσδ)ττ=σδ(τδ)ττ= σδ(δτ ^-1)ττ=σ τ .
In definitiva il gruppo è formato da:
< σ, δ, τ >={τⁿ , τⁿ σ , τⁿδ , τⁿο : n intero}

Ecco un altro fregio realizzato con questo gruppo

Alcune tassellazioni del piano
Spesso meraviglia, nel vedere le composizioni di Escher, il modo con cui lui riesce a tassellare il piano non solo con figure che si incastrano senza intersizi l’una con l’altra riempiendo l’intero piano, ma addirittura con figure tutte uguali che si combinano tra loro con riflessioni rotazioni ed altre simmetrie. In questo breve paragrafo vediamo in casi semplici quale matematica si nasconde dietro queste costruzioni.
E’ ovvio che con tasselli triangolari tutti uguali (qualunque sia la forma del triangolo) è possibile riempire il piano dato che due triangoli possono combinarsi formando un parallelogramma che può essere traslato nelle due direzioni indipendenti.

La pagina geogebra relativa a questa figura permette di modificare il triangolo ottenendo diverse tassellazioni con triangoli tutti uguali.
Più interessante è il seguente
Teorema
E’ possibile tassellare il piano con qualsiasi forma quadrangolare.
La figura seguente mostra un esempio: i quadrilateri rossi sono uguali a quelli bianchi.

La dimostrazione del teorema è costruttiva è può ottenersi facilmente seguendo la costruzione con geogebra

Il seguente esempio è basato sulla costruzione precedento dove abbiamo sostituito ogni lato del quadrilatero iniziale con una spezzata simmetrica rispetto al punto medio di quel lato. Questo permette di trovare diverse sagome tutte uguali tra loro con le quali pavimentare il piano

Con i pentagoni e con gli esagoni esistono diverse tipologie con le quali è possibile tassellare il piano. Il problema è molto complesso e, in generale, è ancora aperto.
Qua vdiamo un caso molto interessante relativo agli esagoni. Maggiori notizie si possono trovare sul sito matematicamedie.
Teorema
Dati comunque due lati consecutivi AB, BC di un esagono (non necessariamente convesso) è possibile costruire una mattonella esagonale con la quale tassellare tutto il piano.
Come nel caso precedente la dimostrazione è costruttiva e si può eseguirla passo passo seguendo l’animazione geogebra successiva.

Le figure seguenti ottenute dalla stessa costruzione modificando il punto B danno un’idea delle possibili tassellazioni che si possono ottenere con questi mattonelle esagonali uguali ma di diversi colori.